mongol 

                              Лекц№15

Лекц 1 Сэдэв: Матриц, түүн дээрх үйлдлүүд, матрицын ранг Хичээлийн зорилго: 1. Танин мэдэхүй: Энэ хичээлээр матриц, түүн дээрх үйлдлүүд, матрицын ранг гэж юу болох, хэрхэн бодох талаар авч үзнэ. 2. Хүмүүжүүлэх: Суралцагчдын өмнөх мэдлэг чадварт нь тулгуурлан оюун ухааны хүмүүжил олгоно. 3. Хөгжүүлэх: Суралцагчдын ой тогтоолт, ойлгох, харьцуулах, жиших, сэтгэн бодох чадварыг хөгжүүлнэ. Хичээлийн хэрэглэгдэхүүн, холбогдох ном материал: 1. Ж.Баасандорж нар “Инженерийн математик-1” УБ 1999 он 2. Х.Гэндэнжамц, Л.Шагдар, Ү.Санжмятав “Дээд математик-1” УБ 1986 он 3. Ц.Лхамсүрэн, С.Намжилдорж “Дээд математикийн бодлого, дасгал” УБ 1998 он Матриц, түүн дээрх үйлдлүүд Тодорхойлолт – 1 m мөр n багана бүхий таблиц хэлбэрээр байрлуулагдсан тоог хэмжээст матриц гээд гэж тэмдэглэдэг. Матрицид бичсэн тоонуудыг матрицын элемент гэнэ. Матрицын -р мөр -р баганад байрлах элементийг гэж тэмдэглэдэг. Тодорхойлолт – 2 Хэрэв мөр баганын тоо ялгаатай ө.х бол тэгш өнцөгт матриц, харин мөр баганын тоо тэнцүү буюу бол квадрат матриц буюу эрэмбийн матриц гэнэ. Квадрат матрицад элементүүд гол диагональ үүсгэнэ. Тодорхойлолт – 3 А матрицын хувьд мөр ба баганын тоо ялгаатай ( ) байхад байвал А матрицыг диагональ матриц гэнэ. Тодорхойлолт – 4 байх диагональ матрицыг скаляр матриц гэнэ. Тодорхойлолт – 5 байх скаляр матрицыг нэгж матриц гээд Е – ээр тэмдэглэдэг. Тодорхойлолт – 6 Хэрэв квадрат матрицын гол диагоналийн дээд (доод) талд байрлах бүх элемент тэг бол доод (дээд) гурвалжин матриц гэнэ. Жишээ нь - доод гурвалжин матриц хэмжээстэй матрицыг баганан матриц, харин хэмжээст матрицыг мөрөн матриц гэнэ. - баганан матриц, - мөрөн матриц хэмжээст А ба В матрицын , бүрийн хувьд байвал тэнцүү матрицууд гэнэ. Тодорхойлолт – 7 Бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү матрицыг тэг матриц гээд 0-ээр тэмдэглэдэг. Жишээ нь Тодорхойлолт – 8 Дараах матрицыг трапец хэлбэрийн матриц гэнэ. Матриц дээрх үйлдлүүд 1. Матрицуудыг нэмэх Хэрэв А ба В нь хэмжээст матриц бол А+В нь ( , ) элементүүдтэй С матриц байна. Жишээ – 1 2. Матрицыг тоогоор үржүүлэх Хэрэв бодит тоо бол А матрицыг -аар үржүүлсэн үржвэр байна. Жишээ – 2 3. Матрицуудыг үржүүлэх А нь мөртэй к баганатай, В нь к мөртэй баганатай матриц байг. ( ) элементүүдтэй байх С матрицыг үржвэр матриц гэнэ. Жишээ – 3 Матрицуудыг үржүүлэх үйлдлийн хувьд байдаг. Тодорхойлолт – 9 Хэрэв байвал А, В матрицуудыг сэлгэх (коммутатив) матрицууд гэнэ. Жишээ – 4 , бол Матрицуудыг үржүүлэх үйлдлийн хувьд дараах чанарууд хүчинтэй. 1. 2. 3. 4. , - бодит тоо 4.Матрицыг хөрвүүлэх матрицыг хөрвүүлсэн матриц нь хэмжээст матриц байна. Жишээ – 5 матрицыг хөрвүүл. Бодолт. байна. Матрицыг хөрвүүлэх үйлдлийн хувьд дараах чанарууд хүчинтэй. 1. 2. 3. 4. , - бодит тоо Хэрэв квадрат матриц А – ийн хувьд байвал тэгш хэмтэй матриц гэнэ. Матрицын ранг Тодорхойлолт – 10 А матрицын тэгээс ялгаатай мөрүүдийн тоог матрицын ранг гээд гэж тэмдэглэдэг. Дараах үйлдлийг матриц дээрх энгийн хувиргалт буюу элементар хувиргалт гэнэ. 1. Матрицын аль нэг мөрийн (баганын) бүх элементүүдийг тэгээс ялгаатай элементээр үржүүлэх 2. Матрицын дурын хоёр мөрийн (баганын) байрыг солих 3. Матрицын нэг мөрийн (баганын) бүх элементүүдийг тэгээс ялгаатай тоогоор үржүүлж өөр мөрийн (баганын) харгалзах элемент дээр нэмэх 4. Матрицыг хөрвүүлэх Трапец хэлбэрийн матрицын ранг тэгээс ялгаатай мөрийн тоотой тэнцүү байдаг. Матрицад энгийн хувиргалт хийхэд ранг нь өөрчлөгдөхгүй. Иймд матрицыг энгийн хувиргалтаар трапец хэлбэрт шилжүүлж рангийг олж болдог. Жишээ – 6 матрицын рангийг ол. Бодолт 1-р мөрийг - 2 - оор үржүүлж 2-р мөр дээр, 1-р мөрийг -3 – аар үржүүлж 3-р мөр дээр тус тус нэмэв. Уг матрицын ранг нь тэгээс ялгаатай мөрүүдийн тоотой тэнцүү буюу байна. Жишээ – 7 -ын рангийг ол. Бодолт: 1. 1-р мөрийг – 2-оор үржүүлж 2-р мөр дээр нэмэв. 2. 1-р мөрийг – 3 –аар үржүүлж 3-р мөр дээр нэмэв.

Ñåìèíàð - 10 Ñýäýâ: 2-ð ýðýìáèéí ìóðóéíóóä Õè÷ýýëèéí çîðèëãî: 1. Òàíèí ìýäýõ¿é: Ýíý õè÷ýýëýýð ýëëèïñ, òîéðîã, ãèïåðáîë, ïàðàáîëûí áîäëîãóóäûã àâ÷ ¿çíý. 2. Õ¿ì¿¿æ¿¿ëýõ: Ñóðàëöàã÷äûí ºìíºõ ìýäëýã ÷àäâàðò íü òóëãóóðëàí îþóí óõààíû õ¿ì¿¿æèë îëãîíî. 3. Õºãæ¿¿ëýõ: Ñóðàëöàã÷äûí îé òîãòîîëò, îéëãîõ, õàðüöóóëàõ, æèøèõ, ñýòãýí áîäîõ ÷àäâàðûã õºãæ¿¿ëíý. Õè÷ýýëèéí õýëáýð: Ìýäëýãèéã áàòàòãàõ ñåìèíàðûí õè÷ýýë Õè÷ýýëèéí àðãà: Õàðèëöàí ÿðèàíû àðãà, àñóóäàë äýâø¿¿ëýí øèéäâýðëýõ Õè÷ýýëèéí õýðýãëýãäýõ¿¿í: Òàðààõ ìàòåðèàë, ñàìáàð øîõîé Õè÷ýýëд õîëáîãäîõ íîì ìàòåðèàë: 1. Ö.Ëõàìñ¿ðýí, Ñ.Íàìæèëäîðæ “Äýýä ìàòåìàòèêèéí áîäëîãî, äàñãàë” ÓÁ 1998 îí 2. ØÓÒÈÑ “Ìàòåìàòèêèéí õè÷ýýëèéí ñåìèíàðûí ãàðûí àâëàãà” ÓÁ 2006 îí Хичээлийн агуулга: Ä.ä Õè÷ýýëèéí ¿å øàòóóä Õóãàöàà /ìèí/ Áàãøèéí ñóðãàí õ¿ì¿¿æ¿¿ëýõ ¿éë àæèëëàãàà Îþóòíû òàíèí ìýäýõ ¿éë àæèëëàãàà 1. Çîõèîí áàéãóóëàõ õýñýã 3 • Àíãèà çîõèîí áàéãóóëàõ • Ìýíäëýõ • Õè÷ýýëèéí ãàð÷èã áè÷èõ • Õè÷ýýëèéí çîðèëãî, çîðèëòîî òîäîðõîéëîõ • Õè÷ýýëä áýëòãýõ • Áàãøòàé ìýíäëýõ • Õè÷ýýëèéí çîðèëãî, çîðèëòòîé òàíèëöàõ 2. ªìíº ¿çñýíèéã ñýðãýýí ñàíóóëàõ õýñýã 7 • Эллипс, гипербол, тойрог, параболын тэгшитгэл, фокусын цэг, директрисс шулууны тухай ñýðãýýí ñàíóóëàõ Áàãøòàé õàðèëöàí ÿðèëöàí ëåêöèéí õè÷ýýë äýýð ¿çñýí óõàãäàõóóí, òåîðåìûã ñýðãýýí ñàíàõ 3. Îþóòàíä çààâàë ýçýìø¿¿ëýõ ìýäëýã àðãà áàðèëûí õýñýã 30 Òºëºâëºñºí áîäëîãóóäûã òàéëáàðëàí õàìòðàí áîäîõ • Áîäëîãûí áîäîëòóóäûã áè÷èæ àâàõ • Îéëãîîã¿é ç¿éë¿¿äýý àñóóæ àâàõ 4. Îþóòíû øèíý ìýäëýãèéã áàòàòãàõ õýñýã 45 Òàðààõ ìàòåðèàë äýýðõ áîäëîãóóäûã áîäóóëàõ • Òàðààõ ìàòåðèàë äýýðõ áîäëîãóóäûã áîäîõ • Áàãøèä øàëãóóëàõ • Ǻâ áóðóóã õàðèëöàí ÿðèëöàõ 5. Ä¿ãíýëò 5 Эллипс, гипербол, тойрог, параболын тэгшитгэл, фокусын цэг, директрисс шулууны тэгшитгэлийг õýðõýí áичиõ òóõàé íýãòãýí ä¿ãíýæ ÿðèëöàõ Áàãøèéí òàâüñàí àñóóëòàíä õàðèóëæ, áóðóó, äóòóó îéëãîñîí ìýäëýã¿¿äýý àñóóæ ìýäýæ àâàõ Жишээ – 1 ба фокусуудын хоорондох зай 2c=8 бол эллипсийн тэгшитгэлийг бич. Бодолт: 2-ð ýðýìáèéí ìóðóéíóóä 1. òýã-òýé ýëëèïñèéí òýíõëýã¿¿ä, ôîêóñûí öýã, ýêñöåíòðèñèòåòèéã îë. 2. Êîîðäèíàòûí òýíõëýã¿¿äèéí õóâüä òýãø õýìòýé A(3;1) áà öýãèéã äàéðñàí ýëëèïñèéí òýãøèòãýëèéã áè÷. 3. Êîîðäèíàòûí òýíõëýã¿¿äèéí õóâüä òýãø õýìòýé ýëëèïñèéí òýãøèòãýëèéã äàðààõ ºãºãäñºí ç¿éëèéã àøèãëàí áè÷. a. Ôîêóñóóäûí õîîðîíäîõ çàé 2c=24, èõ òýíõëýã 2a=30 b. èõ õàãàñ òýíõëýã a=25, 4. (-3;1) öýã äýýð òºâòýé R=8 ðàäèóñòàé òîéðãèéí òýãøèòãýëèéã áè÷. 5. A(1;5), B(-4;0), C(5;-4) öýã¿¿äèéã äàéðñàí òîéðãèéí òýãøèòãýëèéã áè÷. 6. òîéðãèéí òºâèéí öýãèéí êîîðäèíàòóóä, ðàäèóñûã îë. 7. òýãøèòãýëòýé ãèïåðáîëûí ôîêóñûí öýã, áîäèò áà õóóðìàã òýíõëýã, ýêñöåíòðèñèòåòèéã îëæ áàéãóóë. 8. öýãèéã äàéðñàí ýêñöåíòðèñèòåò á¿õèé ãèïåðáîëûí ýãýë òýãøèòãýëèéã áè÷. 9. øóëóóí áà ãèïåðáîëûí îãòëîëöîëûí öýãèéã îë. 10. áà øóëóóíóóä ãèïåðáîëûã ø¿ðãýõ áîë ò¿¿íèé òýãøèòãýëèéã áè÷. 11. Êîîðäèíàòûí ýõ äýýð îðîéòîé F(0;5) öýã äýýð ôîêóñòàé ïàðàáîëûí òýãøèòãýëèéã áè÷. 12. ïàðàáîëîîñ øóëóóí õ¿ðòýëõ çàé íü õàìãèéí áàãà áàéõ Ì öýãèéã îë.

Ñåìèíàð - 11 Õè÷ýýëèéí ñýäýâ: Ôóíêöèéí òóõàé îéëãîëò, ýëåìåíòàð ôóíêö¿¿ä, Ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã¿é ÷àíàð Õè÷ýýëèéí çîðèëãî: 1. Òàíèí ìýäýõ¿é: Ýíý õè÷ýýëýýð ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ, ôóíêöèéí õÿçãààðûí áîäëîãóóäûã àâ÷ ¿çíý. 2. Õ¿ì¿¿æ¿¿ëýõ: Ñóðàëöàã÷äûí ºìíºõ ìýäëýã ÷àäâàðò íü òóëãóóðëàí îþóí óõààíû õ¿ì¿¿æèë îëãîíî. 3. Õºãæ¿¿ëýõ: Ñóðàëöàã÷äûí îé òîãòîîëò, îéëãîõ, õàðüöóóëàõ, æèøèõ, ñýòãýí áîäîõ ÷àäâàðûã õºãæ¿¿ëíý. Õè÷ýýëèéí õýëáýð: Ìýäëýãèéã áàòàòãàõ ñåìèíàðûí õè÷ýýë Õè÷ýýëèéí àðãà: Õàðèëöàí ÿðèàíû àðãà, àñóóäàë äýâø¿¿ëýí øèéäâýðëýõ Õè÷ýýëèéí õýðýãëýãäýõ¿¿í: Òàðààõ ìàòåðèàë, ñàìáàð øîõîé Õè÷ýýëä õîëáîãäîõ íîì ìàòåðèàë: 1. Ö.Ëõàìñ¿ðýí, Ñ.Íàìæèëäîðæ “Äýýä ìàòåìàòèêèéí áîäëîãî, äàñãàë” ÓÁ 1998 îí 2. ØÓÒÈÑ “Ìàòåìàòèêèéí õè÷ýýëèéí ñåìèíàðûí ãàðûí àâëàãà” ÓÁ 2006 îí Хичээлийн агуулга: Ä.ä Õè÷ýýëèéí ¿å øàòóóä Õóãàöàà /ìèí/ Áàãøèéí ñóðãàí õ¿ì¿¿æ¿¿ëýõ ¿éë àæèëëàãàà Îþóòíû òàíèí ìýäýõ ¿éë àæèëëàãàà 1. Çîõèîí áàéãóóëàõ õýñýã 3 • Àíãèà çîõèîí áàéãóóëàõ • Ìýíäëýõ • Õè÷ýýëèéí ãàð÷èã áè÷èõ • Õè÷ýýëèéí çîðèëãî, çîðèëòîî òîäîðõîéëîõ • Õè÷ýýëä áýëòãýõ • Áàãøòàé ìýíäëýõ • Õè÷ýýëèéí çîðèëãî, çîðèëòòîé òàíèëöàõ 2. ªìíº ¿çñýíèéã ñýðãýýí ñàíóóëàõ õýñýã 7 • Òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ • Äàðààëëûí õÿçãààð • Ôóíêöèéí õÿçãààð • 1-ð ãàéõàìøèãò õÿçãààð • 2-ð ãàéõàìøèãò õÿçãààðûí òîäîðõîéëîëò òåîðåìûã ñýðãýýí ñàíóóëàõ Áàãøòàé õàðèëöàí ÿðèëöàí ëåêöèéí õè÷ýýë äýýð ¿çñýí óõàãäàõóóí, òåîðåìûã ñýðãýýí ñàíàõ 3. Îþóòàíä çààâàë ýçýìø¿¿ëýõ ìýäëýã àðãà áàðèëûí õýñýã 30 Òºëºâëºñºí áîäëîãóóäûã òàéëáàðëàí õàìòðàí áîäîõ • Áîäëîãûí áîäîëòóóäûã áè÷èæ àâàõ • Îéëãîîã¿é ç¿éë¿¿äýý àñóóæ àâàõ 4. Îþóòíû øèíý ìýäëýãèéã áàòàòãàõ õýñýã 45 Òàðààõ ìàòåðèàë äýýðõ áîäëîãóóäûã áîäóóëàõ • Òàðààõ ìàòåðèàë äýýðõ áîäëîãóóäûã áîäîõ • Áàãøèä øàëãóóëàõ • Ǻâ áóðóóã õàðèëöàí ÿðèëöàõ 5. Ä¿ãíýëò 5 • Òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ • Äàðààëëûí õÿçãààð • Ôóíêöèéí õÿçãààð • 1-ð ãàéõàìøèãò õÿçãààð • 2-ð ãàéõàìøèãò õÿçãààðûã õýðõýí áîäîõ òóõàé íýãòãýí ä¿ãíýæ ÿðèëöàõ Áàãøèéí òàâüñàí àñóóëòàíä õàðèóëæ, áóðóó, äóòóó îéëãîñîí ìýäëýã¿¿äýý àñóóæ ìýäýæ àâàõ Жишээ – 1 тîäîðõîéëîãäîõ ìóæèéã îë. Бодолт: Жишээ – 2 Жишээ – 3 Жишээ – 4 Жишээ – 5 Жишээ – 6 Дараах бодлогуудыг бод. Òîäîðõîéëîãäîõ ìóæèéã îë. 1. 2. 3. 4. Ôóíêöèéí õÿçãààð 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

                             Лекц№11