Лекц 1 Сэдэв: Матриц, түүн дээрх үйлдлүүд, матрицын ранг Хичээлийн зорилго: 1. Танин мэдэхүй: Энэ хичээлээр матриц, түүн дээрх үйлдлүүд, матрицын ранг гэж юу болох, хэрхэн бодох талаар авч үзнэ. 2. Хүмүүжүүлэх: Суралцагчдын өмнөх мэдлэг чадварт нь тулгуурлан оюун ухааны хүмүүжил олгоно. 3. Хөгжүүлэх: Суралцагчдын ой тогтоолт, ойлгох, харьцуулах, жиших, сэтгэн бодох чадварыг хөгжүүлнэ. Хичээлийн хэрэглэгдэхүүн, холбогдох ном материал: 1. Ж.Баасандорж нар “Инженерийн математик-1” УБ 1999 он 2. Х.Гэндэнжамц, Л.Шагдар, Ү.Санжмятав “Дээд математик-1” УБ 1986 он 3. Ц.Лхамсүрэн, С.Намжилдорж “Дээд математикийн бодлого, дасгал” УБ 1998 он Матриц, түүн дээрх үйлдлүүд Тодорхойлолт – 1 m мөр n багана бүхий таблиц хэлбэрээр байрлуулагдсан тоог хэмжээст матриц гээд гэж тэмдэглэдэг. Матрицид бичсэн тоонуудыг матрицын элемент гэнэ. Матрицын -р мөр -р баганад байрлах элементийг гэж тэмдэглэдэг. Тодорхойлолт – 2 Хэрэв мөр баганын тоо ялгаатай ө.х бол тэгш өнцөгт матриц, харин мөр баганын тоо тэнцүү буюу бол квадрат матриц буюу эрэмбийн матриц гэнэ. Квадрат матрицад элементүүд гол диагональ үүсгэнэ. Тодорхойлолт – 3 А матрицын хувьд мөр ба баганын тоо ялгаатай ( ) байхад байвал А матрицыг диагональ матриц гэнэ. Тодорхойлолт – 4 байх диагональ матрицыг скаляр матриц гэнэ. Тодорхойлолт – 5 байх скаляр матрицыг нэгж матриц гээд Е – ээр тэмдэглэдэг. Тодорхойлолт – 6 Хэрэв квадрат матрицын гол диагоналийн дээд (доод) талд байрлах бүх элемент тэг бол доод (дээд) гурвалжин матриц гэнэ. Жишээ нь - доод гурвалжин матриц хэмжээстэй матрицыг баганан матриц, харин хэмжээст матрицыг мөрөн матриц гэнэ. - баганан матриц, - мөрөн матриц хэмжээст А ба В матрицын , бүрийн хувьд байвал тэнцүү матрицууд гэнэ. Тодорхойлолт – 7 Бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү матрицыг тэг матриц гээд 0-ээр тэмдэглэдэг. Жишээ нь Тодорхойлолт – 8 Дараах матрицыг трапец хэлбэрийн матриц гэнэ. Матриц дээрх үйлдлүүд 1. Матрицуудыг нэмэх Хэрэв А ба В нь хэмжээст матриц бол А+В нь ( , ) элементүүдтэй С матриц байна. Жишээ – 1 2. Матрицыг тоогоор үржүүлэх Хэрэв бодит тоо бол А матрицыг -аар үржүүлсэн үржвэр байна. Жишээ – 2 3. Матрицуудыг үржүүлэх А нь мөртэй к баганатай, В нь к мөртэй баганатай матриц байг. ( ) элементүүдтэй байх С матрицыг үржвэр матриц гэнэ. Жишээ – 3 Матрицуудыг үржүүлэх үйлдлийн хувьд байдаг. Тодорхойлолт – 9 Хэрэв байвал А, В матрицуудыг сэлгэх (коммутатив) матрицууд гэнэ. Жишээ – 4 , бол Матрицуудыг үржүүлэх үйлдлийн хувьд дараах чанарууд хүчинтэй. 1. 2. 3. 4. , - бодит тоо 4.Матрицыг хөрвүүлэх матрицыг хөрвүүлсэн матриц нь хэмжээст матриц байна. Жишээ – 5 матрицыг хөрвүүл. Бодолт. байна. Матрицыг хөрвүүлэх үйлдлийн хувьд дараах чанарууд хүчинтэй. 1. 2. 3. 4. , - бодит тоо Хэрэв квадрат матриц А – ийн хувьд байвал тэгш хэмтэй матриц гэнэ. Матрицын ранг Тодорхойлолт – 10 А матрицын тэгээс ялгаатай мөрүүдийн тоог матрицын ранг гээд гэж тэмдэглэдэг. Дараах үйлдлийг матриц дээрх энгийн хувиргалт буюу элементар хувиргалт гэнэ. 1. Матрицын аль нэг мөрийн (баганын) бүх элементүүдийг тэгээс ялгаатай элементээр үржүүлэх 2. Матрицын дурын хоёр мөрийн (баганын) байрыг солих 3. Матрицын нэг мөрийн (баганын) бүх элементүүдийг тэгээс ялгаатай тоогоор үржүүлж өөр мөрийн (баганын) харгалзах элемент дээр нэмэх 4. Матрицыг хөрвүүлэх Трапец хэлбэрийн матрицын ранг тэгээс ялгаатай мөрийн тоотой тэнцүү байдаг. Матрицад энгийн хувиргалт хийхэд ранг нь өөрчлөгдөхгүй. Иймд матрицыг энгийн хувиргалтаар трапец хэлбэрт шилжүүлж рангийг олж болдог. Жишээ – 6 матрицын рангийг ол. Бодолт 1-р мөрийг - 2 - оор үржүүлж 2-р мөр дээр, 1-р мөрийг -3 – аар үржүүлж 3-р мөр дээр тус тус нэмэв. Уг матрицын ранг нь тэгээс ялгаатай мөрүүдийн тоотой тэнцүү буюу байна. Жишээ – 7 -ын рангийг ол. Бодолт: 1. 1-р мөрийг – 2-оор үржүүлж 2-р мөр дээр нэмэв. 2. 1-р мөрийг – 3 –аар үржүүлж 3-р мөр дээр нэмэв.